文章目录
总结
背景
分析
其它
动态赔率
庄家抽水
代码
总结
分三步走：
根据选手积分，估算选手两两之间的胜负概率
根据胜负概率矩阵，估算每个选手的夺冠概率
根据夺冠概率，制定每个选手的赔率
背景
在一场乒乓球赛事中，有N个人报名参加了比赛。
为了增添趣味性，想要给比赛增加一个竞猜环节。在比赛开始前，任何人都可以押注，赌某一个选手最终夺冠。如果猜对了，会有奖励，如果猜错了，赌注就打水漂了。
分析
一般思路是，系统给每个参赛选手设定一个赔率（odds）。比如，选手A的赔率是2，如果一个人X下注100元押A夺冠，则：
如果A夺冠，X得到赔付 100 * 2 = 200 元，去除本金100元，净盈利是100元
如果A没有夺冠，则X损失100元
那么问题就转化为，庄家如何设置每个选手的赔率，才能兼顾公平与机会。
比如说，选手A是夺冠热门，那么：
A的赔率不能太高，因为大家都认为A有较大概率夺冠，很容易在A身上集中过多的赌注，所以庄家要控制A的赔率不能太高
其它选手的赔率要高于A，越是冷门选手，赔率越要高一些，这样，才会提高大家押注冷门选手的积极性
总体的赔率要有所控制（不能过高或者过低），最好的情况是，无论谁夺冠，庄家都能在稳定的基础上，小赚一笔
为了简单起见，我们简化模型：
赔率不会动态变化
每个选手身上的押注金额和他的夺冠概率成正比
目标是公平赔率（后续可以在此基础上抽水）
先看最简单的情况，假设只有两个选手A和B参赛，他们水平相当，夺冠概率都是50%，则赔率显然应该都是2。这样，假设押A和押B的总赌注一样多，那么无论A夺冠还是B夺冠，最终都是平衡的。
对于更复杂的情况，有多名选手参赛，他们的水平有高有低，每个人的夺冠概率分别为 PA ， PB ， PC ，……，假设总押注金额为 M ，则选手A的押注金额是 M * PA ，选手B的押注金额是 M * PB ，以此类推。
在此基础上，每个选手的赔率为：
A： 1 / PA
B： 1 / PB
C： 1 / PC
……
证明：假设A夺冠，那么对于庄家而言，
总收入是 M
总支出是 M * PA * (1 / PA) = M
庄家达成了收支平衡。
其他选手夺冠，也是一样的。
现在，问题转换为，如何估算每个选手夺冠的概率？
这里，我们可以使用Elo预期胜率公式。
对任意选手i和j，i战胜j的概率为：
P(i,j) = 1 / (1 + pow(10, (scorej−scorei)/k))
其中 k 是评分差缩放因子，表示敏感度，惯用值是400。 k 值越小，越敏感，也就是说高分选手有更大概率战胜低分选手。
比如，A的积分是1700，B的积分是1600，C的积分是1500，按上述公式：
A战胜B（相差100分）的概率为： 1 / (1 + pow(10, (1600 - 1700) / 400)) = 0.64
A战胜C（相差200分）的概率为： 1 / (1 + pow(10, (1500 - 1700) / 400)) = 0.76
如果觉得不太准确，可以适当调整k值，比如调整到200：
A战胜B（相差100分）的概率为： 1 / (1 + pow(10, (1600 - 1700) / 200)) = 0.76
A战胜C（相差200分）的概率为： 1 / (1 + pow(10, (1500 - 1700) / 200)) = 0.91
这样，根据每个选手的积分，我们可以得到一个胜负概率矩阵。
接下来，需要从胜负概率矩阵来估计每个选手的夺冠概率。
假设胜负概率矩阵如下：
A
B
C
D
E
A
–
0.7
0.8
0.9
0.95
B
–
0.7
0.8
0.9
C
–
0.7
0.8
D
–
0.7
E
–
A的预期胜场数： 0.7 + 0.8 + 0.9 + 0.95 = 3.35
B的预期胜场数： 0.3 + 0.7 + 0.8 + 0.9 = 2.7
C的预期胜场数： 0.2 + 0.3 + 0.7 + 0.8 = 2.0
D的预期胜场数 ：0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.7 = 1.3
E的预期胜场数： 0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.65
归一化：
3.35 + 2.7 + 2.0 + 1.3 + 0.65 = 10
PA = 3.35 / 10 = 33.5%
PB = 2.7 / 10 = 27%
PC = 2.0 / 10 = 20%
PD = 1.3 / 10 = 13%
PE = 0.65 / 10 = 6.5%
不过，这种算法貌似不太科学。强如A，有较大概率能战胜所有对手，而夺冠概率只有33.5%，而E基本上谁也赢不了，竟然还有6.5%的夺冠概率。
这说明胜负差异对夺冠概率的影响过小，显然，我们应该放大差异影响。
比如，使用平方加权法来代替线性归一法：
3.35^2 + 2.7^2 + 2.0^2 + 1.3^2 + 0.65^2 = 24.62
PA = 3.35^2 / 24.62 = 45.6%
PB = 2.7^2 / 24.62 = 29.6%
PC = 2.0^2 / 24.62 = 16.3%
PD = 1.3^2 / 24.62 = 6.9%
PE = 0.65^2 / 24.62 = 1.7%
这样一来，高分选手的夺冠概率趋向于更高，而低分选手的夺冠概率趋向于更低，更接近真实情况。
如果还想进一步放大差异，可以考虑三次方加权，估算结果如下：
PA: 55.5%
PB: 29.1%
PC: 11.8%
PD: 3.2%
PE: 0.4%
看上去更合理一些。
其它
动态赔率
押注越高，赔率越低，避免出现庄家赔本的情况。本文没有考虑这种情况。
庄家抽水
比如在公平赔率基础上，打个九折，以保证庄家在稳定平衡基础上能小赚一笔。
代码
用PHP实现代码如下：
// $players = [
// ['uid' => 1, 'username' => '张三', 'score' => 2500],
// ['uid' => 2, 'username' => '李四', 'score' => 2200],
// ['uid' => 3, 'username' => '王五', 'score' => 2100],
// ['uid' => 4, 'username' => '赵六', 'score' => 2000],
// ['uid' => 5, 'username' => '钱七', 'score' => 1800],
// ];
// $players = [
// ['uid' => 1, 'username' => '马龙', 'score' => 3200], // 超级王者
// ['uid' => 2, 'username' => '樊振东', 'score' => 3050], // 现役霸主
// ['uid' => 3, 'username' => '王楚钦', 'score' => 2900], // 新生代领军
// ['uid' => 4, 'username' => '许昕', 'score' => 2750], // 直板独苗
// ['uid' => 5, 'username' => '张继科', 'score' => 2750], // 同分选手1
// ['uid' => 6, 'username' => '林高远', 'score' => 2700],
// ['uid' => 7, 'username' => '梁靖崑', 'score' => 2600],
// ['uid' => 8, 'username' => '王皓', 'score' => 2550],
// ['uid' => 9, 'username' => '马琳', 'score' => 2450], // 传奇组
// ['uid' => 10, 'username' => '刘国梁', 'score' => 2450] // 同分选手2
// ];
$players = [
['uid' => 1, 'username' => '张三', 'score' => 1846],
['uid' => 2, 'username' => '李四', 'score' => 1823],
['uid' => 3, 'username' => '王五', 'score' => 1785],
['uid' => 4, 'username' => '赵六', 'score' => 1768],
['uid' => 5, 'username' => '钱七', 'score' => 1752],
['uid' => 6, 'username' => '孙八', 'score'